This is the translation. The source page is located here: http://people.math.harvard.edu/~ctm/expositions/html/interview.html
от Ан-Мари Орескович (Anne-Marie Oreskovich) и Дмитрий Сагаловски (Dmitry Sagalovskiy)
През миналия семестър математическият клуб имаше привилегията да интервюира професор от Харвард и скорошния медалист на Филдс Къртис Макмълън. По време на едночасовото интервю професор Макмълън обсъди своя опит, своите изследвания, опита си в различни университети в страната и медала на Филдс. Клубът по математика би искал да благодари на професор Макмълън, че отдели време да ни запознае по-добре. За да научите повече за професор Макмълън, вижте уеб страницата му на адрес http://math.harvard.edu/~ctm
В: От колко време сте в Харвард?
М: Година и половина, ако не броиш дните ми на аспиранти.
В: Значи вие сте били аспирант тук?
М: Добре.
В: А къде бяхте студент?
М: Бях в колежа Уилямс в Западен Масачузетс, а след това прекарах една година в Кеймбридж, Англия.
В: Откъде сте?
М: Това е някакъв труден въпрос за отговор. По принцип израснах в Шарлот, Върмонт, но всъщност съм роден в Бъркли, Калифорния. Преместихме се и малко, но аз мисля, че съм от Върмонт.
В: И така, бихте ли ни разказали малко за медала?
М: Вярвам, че е започнало през 30-те години. Той е създаден от канадски, Филдс и знам, че на Алфорс и Дуглас бяха дадени първите двама. Дава се на всеки четири години в ICM, а през последните години го дават на трима или четирима души. Така че нека видим, кой друг го получи тази година? Концевич, Гауърс и Борхердс. Всъщност всички с изключение на Хауърс са прекарали време в Бъркли, където бях през последните седем години, преди да дойда тук. Така че познавах и Борхердс, и Концевич от Бъркли.
В: Къде бяхте, когато разбрахте?
М: Бях тук. Разбирате няколко месеца предварително и трябва да се запази в тайна до действителния ден на церемонията. Така че всъщност не казах на никого, което беше доста трудно, защото имаше циркулиращи слухове и постоянно трябваше да ги отричам.
В: Можете ли да ни разкажете малко за това какво беше вашето изследване, което ви даде медала?
М: Нека да започна с посоката на моите изследвания. Първо, написах дипломната си работа в Харвард, но не работех с професор от Харвард. Правил съм някаква компютърна работа с Дейвид Мамфорд върху групите на Клейниан, преди да завърша и се заинтересувах от тази тема. Но всъщност накрая написах дипломната си работа с Денис Съливан, който по това време беше професор в Сити университета в Ню Йорк и IHES във Франция. Така че имах голям късмет, че Мъмфорд ме запозна с него през последната година от кариерата ми, след което нямах съветник и тема на дипломната работа. И аз заминах за Франция и работих със Съливан в IHES в продължение на семестър и срещнах там Стив Смейл, който ми даде този хубав дисертационен проблем за решаване на полиномиални уравнения чрез итерация.
Сигурно сте чували за метода на Нютон за решаване на полиноми. Ако приложите метода на Нютон за кубичен полином, той може да не работи. Може да закъсате под местния минимум. И ако промените малко първоначалното предположение, то все още може да не се сближи с корен. Така че методът на Нютон не е надежден за решаване на полиномиални уравнения. Проблемът, по който работих, беше дали има алгоритъм като метода на Нютон, включващ итерация само на една рационална функция, която може надеждно да решава полиномиални уравнения. Успях да докажа, че отговорът е не за степен 4 или повече и всъщност намерих нов алгоритъм за решаване на кубици, който е надежден.
След това отидох в MSRI и бях в MIT за семестър, след това в Принстън в продължение на четири години. С Питър Дойл работихме в Принстън за решаване на уравнения от пета степен и открихме този красив неочакван алгоритъм за решаване на квинтични полиноми. Но това не противоречи на моята теза, защото това е кула от повторения; т.е. итерирате една рационална функция, вземете нещото, към което тя се сближава, и го включете в друга.
Както може би знаете, решаването на квинт е свързано с групата на Галоа A5 и фактът, че A5 е проста група. Това беше използвано от Галоа, за да докаже, че не можете да разрешите квинтовото уравнение от радикали.
Оказва се, че за да можете да решите уравнение с помощта на итерирана рационална карта, трябва да намерите рационална карта, чиято група на симетрия е групата на Галоа на полинома. Сега има само малък набор от групи, които могат да бъдат групи за симетрия в сферата на Риман, а интересните идват от платоновите твърди тела. Така че A5, групата на симетрията на додекаедъра, е най-сложната, която можете да получите. Използвахме тази рационална карта със симетрия A5, за да дадем нов алгоритъм за надеждно решаване на квинтовото уравнение. И по същия начин, тъй като S6 или A6 не работят върху сферата на Риман, няма подобен алгоритъм за решаване на уравнения от степен 6 или повече. Така че това беше първата ми област на изследване: решаване на полиноми и динамика на рационалните карти. Връзка
Следващото нещо, върху което работих, когато бях в Принстън, беше теорията на Търстън за хиперболичните 3-многообразия. Търстън има изследователска програма, която е била много успешна, за да се опита да намери канонична геометрия за триизмерни обекти. Например, ако си представите, че имате някакъв колектор, който е тайно 3-сфера, ако по някакъв начин можете да намерите кръгла метрика върху него, тогава изведнъж ще го разпознаете като 3-сфера. Така че, ако можете да намерите метрика, която придава на колектора добра форма, тогава можете да разпознаете какво представлява колекторът. Оказва се, че повечето триизмерни многообразия допускат тези метрики, но метриките не са положително извити като 3-сферата, а са отрицателно извити. Например, ако вземете външната страна на възел в S3, допълнение на възел, то той почти винаги допуска една от тези така наречени хиперболични метрики с постоянна отрицателна кривина. Поради това вече има компютърни програми, където можете просто да нарисувате произволно възел с мишка и да щракнете и в рамките на една или две секунди той ще ви каже точно какъв възел е. И ако му придадете два възела, той веднага ще разпознае дали те са един и същ възел. Това е невероятно, защото проблемът с класифицирането на възлите беше класически изключително труден за решаване.
Докато в Принстън намерих ново, аналитично доказателство за теоремата на Търстън, което предоставя хиперболични структури на много 3-многообразия, включително повечето допълнения към възела. Това ново доказателство е свързано с поредицата на Поанкаре, класическа тема в сложния анализ, и също така води до решение на предположенията на Kra и Bers. По-късно в Бъркли започнах да виждам паралели между теорията за 3-многообразията, които влакнат върху окръжността; тази тема е разработена в 2 книги, които се появиха в Принстън “Annals of Math. Studies”. Медалът на Fields беше, предполагам, като признание за тези проекти.
Така че работих върху динамиката на рационалните карти и работех върху хиперболични 3-многообразия и работех върху повърхности на Риман сам по себе си, а също така съм работил и върху топология на повърхности и възли. И нещото, което бих искал да подчертая, е, че за мен всички тези полета са наистина едно и също поле. Много лесно започвате да работите по проблем в динамиката и се озовавате няколко месеца по-късно по работа по проблем в теорията на възлите или топологията, защото всички те са много взаимосвързани – възли, сложен анализ, полиноми, риманови повърхности, хиперболични 3-многообразия и т.н. Всъщност няма име за това поле, но това е областта, в която работя.
В: Значи сте били в може би четирите най-добри училища в Америка по математика: Принстън, Бъркли, MIT и Харвард. Можете ли да ги сравните и сравните по отношение на атмосферата, приветливостта, темпото, в което хората работят и т.н., за студенти, които мислят да продължат да следват?
М: Те са наистина различни. Позволете ми да пропусна MIT, защото там прекарах само семестър. Принстън е страхотен отдел, но градът е малко задушен и скучен за млад човек. Има най-голяма плътност на хората от „Кой кой е“ и е много култивиран. Никога не се случва нищо неочаквано. Така че не ми се вижда много оживено. Но аз не бях там като аспирант. Принстън е прекрасно място за посещение, ако знаете, че няма да останете там завинаги. Гледам назад с умиление към годините си в Принстън.
Принстън и Харвард се отнасят много добре със своите аспиранти. Съществува добро съотношение на броя на студентите на факултет. Студентите се финансират добре, отделите са достатъчно малки, за да получат много индивидуално внимание. И мисля, че учениците научават много един от друг и на двете места. Това е голям компонент на следдипломното образование.
Бъркли също е наистина прекрасно. Това е място, което има огромен отдел, сто преподаватели, ако броите emereti. Наистина го обичах, но отнема много енергия, за да намеря добро място за живеене, да намеря добър съветник и да вляза в правилната ниша, математически и т.н. Но докато правите това, това ви изплаща много. И времето е прекрасно. Можете да отидете от кампуса в Ягодов каньон, след това в Парк Тилден и да останете напълно извън полезрението на човечеството в рамките на 40 минути. (В Харвард, от друга страна, открих, че мога да карам колело за един час и все още да съм в предградията…) В Бъркли басейните са на открито, много е оживено и освен това е много толерантно – към всякакви различен начин на живот, различни видове хора. Изпитвате чувство на свобода. Не изпитвате никакво безпокойство да изпробвате нова идея и да не се притеснявате толкова много дали ще се получи или не. Едно от страхотните неща за Бъркли е, че има толкова много студенти и толкова много докторанти в областта, особено с MSRI, че можете да създадете работна група по всяка математическа тема, за която се сетите. Там има много математически интерес.
Наистина ми хареса да съм аспирант в Харвард. И Кембридж, и Бъркли имат предимства пред Принстън, в смисъл, че са млади общности, много се случва, те са близо до голям град. Можете да разберете малко от моя опит в дипломирането, че въпреки че мисля, че Харвард е наистина страхотен, фактът, че неговият факултет е малък, може да затрудни намирането на съветник, който е в областта, в която искате да работите. И мисля, че истинският ключ към успеха в аспирантурата е намирането на нещо, от което се интересувате достатъчно, за да продължите да продължите четири или пет години.
В: Защо избрахте да дойдете в Харвард от Бъркли?
М: За първи път дойдох като посетител. И ми беше наистина забавно да преподавам тук. В Бъркли часовете за студенти често са много големи и беше много възнаграждаващо тези наистина добри ученици да бъдат в малък клас. И много ми хареса фактът, че катедрата е достатъчно малка, за да е лесно да опознаеш други преподаватели. И разбира се, тъй като бях аспирант тук, винаги гледах на Харвард като на това прекрасно място. Всъщност ми беше трудно да си представя, че съм професор тук, затова исках да проуча какво би било. Наслаждавам се на факта, че моите области на интерес са различни, но се припокриват с тези на други хора в отдела. Много се интересувам от много неща, които другите хора правят тук. Така че за мен по някакъв начин това ми позволява да продължа образованието си.
В: Но това не намалява ли възможностите ви за сътрудничество с други преподаватели?
М: На първо място пътувам доста, така че виждам хората, които са в моята област във Франция, или в Стонибрук, или другаде. Повечето изследвания обаче се правят сами; Правя най-доброто си изследване сам. Много е полезно да мога да водя спор от експерт в тази област, но всъщност не пропускам да има някой, който е точно в моята област, за да си сътрудничи. Трябва да призная, беше трудно решение да дойда тук. Липсва ми живот в Бъркли и може да прекарам почивка там.
В: Виждате ли се като ренесансов математик в смисъл, че вашата работа обхваща голямо разнообразие от области на математиката?
М (смее се): Не, виждам се по-скоро като дилетант, някой, който се занимава с много различни области и се интересува от много различни неща; Със сигурност не бих казал ренесансов математик. Сега наистина се радвам на много различни видове математика и ми харесва да работя върху нещо, в което не съм експерт, и да уча по този въпрос. Тази област, която описвах, е наистина прекрасна по този начин, защото е толкова широка, че осъществява контакт с много различни видове математика. Когато дойдох в Харвард, установих, че за голяма част от теорията (като теорията на Ходж за сложни колектори и т.н.), аз всъщност не съм я разбрал и не съм бил много мотивиран да я изучавам. Затова започнах с предмет, който можех да науча наистина добре: една истинска променлива.
Взех истински курс по анализ, когато бях студент; Отидох в Станфорд за една година и взех страхотен истински курс за анализ от Бенджамин Вайс, който беше гостуващ професор от Йерусалим. И това наистина ме развълнува от анализа. След това се върнах при Уилямс и работих в тясно сътрудничество с Бил Оливър. Той беше много влиятелен в моето математическо образование; от него за първи път научих тази идея за използване на речници в математиката, за да се използва като нещо като аналогия между различни области или различни теоретични разработки, за да се опитам да ръководя работата си. Така че това бяха моите ранни влияния.
Когато дойдох в Харвард и бях някакъв актьор. Знаех как да програмирам – работех през лятото в IBM-Watson в Yorktown Heights – и Mandelbrot и Mumford почти си сътрудничеха; Манделброт предоставяше достъп до компютри в Йорктаун Хайтс до Мъмфорд, който рисуваше тези красиви снимки на ограничени групи от групи Клейниан. Като човек, който беше запознат с компютърния свят в Йорктаун, аз започнах да работя за него като негов компютърен програмист, като му помагах да рисува тези снимки и т.н. Трябва да си представите, че в онези дни трябваше да осъществим разговор с модем на дълги разстояния и след това да работим с 30 символа в секунда програми за писане на терминали във FORTRAN. След това щяхме да нарисуваме снимка и трябваше да изчакаме една седмица да ни я изпратят от Йорктаун, за да видим дали тя излезе правилно.
След това се заинтересувах от измерението на Хаусдорф и тъй като знаех някакъв истински анализ, се опитах да работя върху това. Първата ми статия някога беше по проблем, който научих, когато за първи път срещнах професор Хиронака, който по това време беше професор в Харвард, въпреки че беше в отпуск в Япония. Когато се върна за първи път от Япония, той ми каза този въпрос, който не бе успял да реши, а именно да изчисли фракталното измерение на определен набор. Този комплект се получава чрез изчертаване на буквата “М” и повтаряне на същата фигура, както е показано тук.
В крайна сметка получавате комплект с не е самоподобен, но е самообвързан. Фракталите, чиито размери са лесни за изчисляване, имат свойството, че ако вземете малко парче и го пренастроите със същия коефициент и в двете измерения, то изглежда като по-голямо парче. Този има свойството, че много малка пролука може да се мащабира до голямата пролука, но трябва да се мащабира с мощност две в едната посока и с мощност три в другата; поради това размерът е труден за изчисляване. В първата си изследователска работа изчислих това измерение: D = log2 (1 + 2log3 2). Това беше прекрасен проблем; Работих много усилено по него. Виждате, че ми харесваше да стоя близо до основата на математиката, която наистина разбрах.
След това започнах да се интересувам повече от сложната динамика, така че преминах към една сложна променлива от една реална променлива; Винаги оставах близо до неща, които наистина можех да разбера. Така че сега, дванадесет години след докторантурата си, накрая пиша статия, свързана с геометрията на Калер; и със сигурност не се чувствах добре с показателите на Калер, когато бях в аспирантура. Трябваше не само да работя в съответствие с темите, но и да видя вътрешна мотивация да стигна до тях, вместо да ги накарам в „добре това е, което ще научим по-нататък“.
В: Каква беше „аналогията на речника“, за която говорихте?
М: Най-голямото ми математическо влияние оказа съветникът ми за дисертация Денис Съливан. Не само той ми беше съветник по дипломната работа, но когато все още беше в IHES във Франция, щяхме да прекарваме няколко месеца заедно всяко лято там, а аз щях да ходя на семинара му от Ню Йорк или Принстън. Сега той е професор в Стоуни Брук, Ню Йорк и се опитвам да го посещавам около веднъж годишно.
Съливан изобретил красив речник между рационални карти и групи от Клейниан. Рационалната карта е карта на сферата на Риман към себе си, дадена от коефициента на два полинома; например x2 + c, където полиномът в знаменателя е 1. Интересното нещо за изучаване е итерация на тези карти. Когато имате компактен хиперболичен 3-колектор, неговото универсално покритие се оказва твърдата (отворена) 3-топка. Съотношението на 3-топката от действието на основната група на оригиналния колектор отново е многообразието. 3-топката може да бъде компактифицирана чрез добавяне на нейната граница в R3, а именно сферата S2. Груповото действие върху 3-топката се простира до границата S2 като преобразувания на Мебиус (т.е. карти на формата (az+b)/(cz+d)). Това се нарича клеиновска група. Забележете, че започнахме с разглеждане на триизмерен колектор и завършихме с динамична система върху сферата. Така са свързани двата предмета. Има много теореми, които правят тази връзка явна. Аз написах статия проучване (“Класификацията на конформни системи динамични”) за конференция Яу, който изложи не само този речник, но изследователска програма за доказване резултати въз основа на нея. Разбирането и разработването на този речник беше голяма мотивация в работата ми. Например една голяма празнина в речника обръща процеса, който описах – ако ни бъде дадена динамична система на сферата, никой не знае как да намерим триизмерен обект, свързан с нея. В тази вълнуваща област остава много да се направи!
В: Къде държите медала на своето поле? Пазите ли го вкъщи?
М (смее се): Не мога да разкрия тази информация!
В: Каква беше ситуацията, когато спечелихте медала на полето? Какво беше усещането?
М: Първата ми реакция беше на пълно учудване; Бях наистина ужасен. Всъщност мислех, че не съм квалифициран по отношение на възрастта. Също така познавах толкова много велики математици тук, в Бъркли и на други места, че не можех да повярвам, че съм избран. Също така през 1991 г. спечелих наградата Salem, която е награда в Анализ; Бях доволен, че ме разпознаха по този начин, защото наистина обичам областта – беше първата ми работа като математик. Всъщност бях написал малката си дипломна работа като аспирант по числата на Салем и тази награда е в чест на Рафаел Салем, така че тя има лично значение за мен. Никога не бях очаквал да получа такова признание, така че със сигурност чувствах, че вече имам своя дял от признанието. (Бях също толкова изненадан, че получих предложение от Харвард; след това отново не знаех какво да кажа.)
Това напомня е една поговорка на Липман Берс, който беше един от моите ментори; той каза: “Математиката е нещо, което правим за неприятното възхищение на няколко близки приятели.” Мисля, че това е добро описание на математиката; не очаквате повече от това, защото удовлетворението от математиката наистина е нещо лично. Така че се чувствам много щастлив, че бях избран за признаване от комисията по медали на Fields.
Едно от прекрасните неща в математиката е, че общността е сравнително малка. Когато отидох в Берлин, за да получа тази награда, присъстваха много хора, които познавах добре през годините – една прекрасна международна общност от мои приятели. Беше наистина хубаво нещо.
В: Как успяхте да сдържите вълнението си?
М: Е, случилото се беше, бях толкова ужасен, че бързо забравих за това, защото не можех наистина да повярвам. И тогава от време на време, щях да си спомня. И бих си помислил, че това наистина не може да е вярно (смее се) и, разбира се, нямаше как да проверя, тъй като това трябваше да е тайна.
В: Има ли нещо друго, което бихте искали да споделите с нас относно медала?
Всъщност имам история за това, когато се връщах от Берлин. Охранителят на летището, управляващ металотърсача, ме спря, когато раницата ми мина през машината. Тя каза: “Извинете, какво имате в раницата си тук?” Казах: “Това е златен медал.” Тя каза малко съмнително: “Ммммммм.” Затова го извадих от пакета си. Малко огорчена, тя каза: “О, много хубаво; твоя ли е?” Казах “Ммм хмм!”